Die Fouriertransformation

Auf den Punkt gebracht ist die Fouriertransformation die Konversion eines zeitabhängigen Signals in ein frequenzabhängiges Spektrum. Da bei der Fouriertransformation die Zeit- in die Frequenzdomäne übergeführt wird und t = 1/ν gilt, spricht man auch von einer reziproken Transformation.

ω Winkelgeschwindigkeit (entspricht Frequenz) t Zeit f(t) Zeitabhängiges Signal f(ω) Frequenzabhängiges Signal

Das erhaltene Spektrum entspricht dem Realteil nach der Transformation, d.h. das Spektrum besteht aus digitaler Sicht nur aus der Hälfte an Datenpunkten des ursprünglichen FID.

Der Imaginärteil wird nicht dargestellt, aber zur Phasenkorrektur des Spektrums benötigt: NMR-Spektren werden allgemein in Absorptionsdarstellung präsentiert (die Peaks weisen keine "durchhängenden", dispersen Anteile auf). Um diese ästhetisch angenehme und gewohnte Darstellung zu erhalten, werden nach der Fouriertransformation vorhandene Phasenfehler durch geeignetes „Mischen" von Real- und Imaginärteil beseitigt (Phasenkorrektur).

Führen Sie in einem interaktiven Beispiel eine Phasenkorrektur selbst durch.

Signal in Absorption und Signal mit Phasenfehler

Ein weiterer Vorteil der FT-NMR-Spektroskopie besteht darin, dass der FID vor der Fouriertransformation mit geeigneten Funktionen mathematisch behandelt werden kann, um z.B. das Signal/Rausch-Verhältnis oder die Auflösung (=getrennte Darstellung naher Signale) zu verbessern.

Eine fallende Exponentialfunktion beispielsweise dämpft die späteren FID-Anteile, die überwiegend Rauschen enthalten, verstärkt aber die "signalreiche" vordere FID-Sektion: somit wird das Signal/Rausch-Verhältnis verbessert. Der Einfluss der exp-Funktion auf die Linienbreite wird verdeutlicht, wenn man die FT der exp-Funktion separat betrachtet.

Die Fourier-Transformierte einer Exponentialfunktion ist eine Lorentzfunktion: eine steil abfallende (schnell relaxierende) Exponentialkurve führt zu breiten Lorentzkurven (= breite NMR-Signale), vice versa entsteht bei flach abfallender (langsam relaxierender) Exponentialkurve (reziproke Eigenschaft der Fouriertransformation) ein schmales Signal.

verschieden stark fallende Exponentialfunktionen -> FT-Ergebnis

Bezogen auf die Signal/Rausch-Verbesserung mittels einer Exponentialfunktion bedeutet dies, dass man nach der Fouriertransformation mit etwas schlechteren Linienbreiten der Signale im NMR-Spektrum rechnen muss (was bspw. bei den ohnehin schlanken ¹³C-Signalen durchaus akzeptabel ist und dieser kleine Nachteil durch den wesentlichen Empfindlichkeitsgewinn für dieses Isotop - 1% natürliches Vorkommen, geringe Empfindlichkeit - mehr als kompensiert).

Die Behandlung des FID mit einer Gauß-Funktion hingegen wird zur Verbesserung der Auflösung eng beisammenliegender Signale verwendet. Die Gauß-Kurve wird zu dessen Verstärkung über den zeitlich späteren Teil des FID gelegt: Signale, die nur durch einen kleinen Frequenzunterschied getrennt sind, beginnen im FID erst nach vielen Wellenzügen mit einem detektierbaren Gangunterschied auseinanderzulaufen, die Gaußrechnung führt diese Information über die Präsenz unterschiedlicher Frequenzen (= NMR-Resonanzen) der Fouriertransformation zu.

Die Gauß-Funktion ist gegenüber der Fouriertransformation invariant, d.h. die Fouriertransformierte einer Gauß-Funktion ist wiederum eine Gauß-Funktion. Somit erhalten die Resonanzsignale im NMR-Spektrum ebenfalls Gaußform (anstatt der normalerweise vorliegenden Lorentzform): man nennt daher dieses Verfahren auch Lorentz-Gauß Transformation.

Die geringere Breite einer Gaußfunktion an der Basis gegenüber einer vergleichbaren Lorentzfunktion steuert eine zusätzlichen, positiven Beitrag zur verbesserten Darstellung getrennter Signale bei.

In einem interaktiven Beispiel kann man die Auswirkungen der Fouriertransformation auf verschiedenen Signale beobachten.